诱导解决问题

Question

原始问题是以下

证明 $ 2·\ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^ {i}= 3 ^ n-1 $ 为所有n < SPAN Class=“math-container”> $ \ geq $ 1

我知道我必须通过诱导证明并已成功完成基本情况，我的ih是以下内容：

假设 $ 2·\ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^ {i}= 3 ^ n-1 $ 所有n < Span Class=“math-container”> $ \ geq $ 1来证明 $ 2·\ sum_ {i= 0} ^ {n} 3 ^ {i}= 3 ^ {n + 1} -1 $

然后我这样做了： $ 2·\ sum_ {i= 0} ^ {n} 3 ^ {i}= 2·\ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^ {i} + 3 ^ n $

然后在我的ih： $ 2·\ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^ {i} + 3 ^ n= 3 ^ n-1 + 3 ^ n $

在此之后，我努力继续，我知道我必须找到一种方法来将它重写为 $ 3 ^ {n + 1} -1 $ ，我知道这一点等于 $ 3·3 ^ n-1 $ 但我没有看到如何从一个到另一个。任何可以提供帮助的人？

编辑：我误认为是一个3，可以帮助任何人吗？

Answer 1

您可以在下面的推导中添加第一对扫描器，以便将因子 $ 2 $ 乘以下面的因素

$ 2 \ cdot \ sum_ {i= 0} ^ n 3 ^ i= 2 \ cdot \ left（\ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^I + 3 ^ n \右）= 2 \ cdot \ sum_ {i= 1} ^ {n-1} 3 ^ i + 2 \ cdot 3 ^ n=（3 ^ n -1）+ 2 \ cdot 3 ^ n= 3 ^ {n + 1} -1。$

Answer 2

$ 2·\ sum_ {i= 0} ^ {n} 3 ^ {i}= 3 ^ n-1 +2 \ cdot {3 ^ n}= 3 ^ ^ {n + 1} -1 $ 。

Answer 3

考虑声明不正确（确实 $ 2 \ cdot \ sum \ limits_ {i= 0} ^ {n-1} 2 ^ i +1= ul \ limits_ {i= 0} ^ {n} 2 ^ i= 2 ^ {n + 1} -1 \ neq 3 ^ n $ ），我呼叫这里的任何人都可以证明它。

Answer 4

正如您可以找到归纳的基础，即使对于 $ n= 2 $ （易于看到 2美元（1 + 2） = 6 \ neq 3 ^ 2 - 1= 8 $ ）。