risolvere un problema con l'induzione

Question

La domanda originale è la seguente

.

Dimostrare che $ 2 · \ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^ {i}= 3 ^ n-1 $ per tutto n < Span Class="Math-Container"> $ \ GeQ $ 1

So che devo dimostrare di induzione e ho eseguito con successo il caso di base, il mio Ih è il seguente:

assumere $ 2 · \ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^ {i}= 3 ^ n-1 $ Tiene per tutti n < Span class="Math-Container"> $ \ Geq $ 1 per dimostrare $ 2 · \ sum_ {i= 0} ^ {n} 3 ^ {i}= 3 ^ {N + 1} -1 $

Allora ho fatto questo: $ 2 · \ sum_ {i= 0} ^ {n} 3 ^ {i}= 2 · \ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^ {I} + 3 ^ N $

Poi con il mio ih: $ 2 · \ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^ {i} + 3 ^ n= 3 ^ n-1 + 3 ^ n $

Dopo questo lotto per continuare, so che devo trovare un modo per riscriverlo a $ 3 ^ {n + 1} -1 $ e lo so è uguale a $ 3 · 3 ^ n-1 $ ma non vedo come ottenere da quello all'altro. Chiunque possa aiutare?

Modifica: Ho Miseok A 2 per un 3, qualcuno può aiutare ora?

Answer 1

È possibile aggiungere il primo paio di pararantesi nella derivazione di seguito, in modo che diventa chiaro che il fattore $ 2 $ moltiplica il secondo termine, come segue: .

$ 2 \ cdot \ sum_ {i= 0} ^ n 3 ^ i= 2 \ cdot \ sinistra (\ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^I + 3 ^ n \ destra)= 2 \ cdot \ sum_ {i= 1} ^ {n-1} 3 ^ i + 2 \ cdot 3 ^ n= (3 ^ n -1) + 2 \ cdot 3 ^ n= 3 ^ {n + 1} -1. $

Answer 2

$ 2 · \ sum_ {i= 0} ^ {n} 3 ^ {i}= 3 ^ n-1 +2 \ clot {3 ^ n}= 3 ^ {n + 1} -1 $ .

Answer 3

Considerando che la dichiarazione non è corretta (in effetti $ 2 \ cdot \ sum \ limits_ {i= 0} ^ {n-1} 2 ^ i +1=Sum \ Limits_ {I= 0} ^ {n} 2 ^ i= 2 ^ {N + 1} -1 \ NEQ 3 ^ N $ ), Docpugnare qualcuno qui può dimostrarlo.

Answer 4

Come puoi trovare come base dell'induzione, non è vero anche per $ n= 2 $ (facile da vedere $ 2 (1 + 2) = 6 \ neq 3 ^ 2 - 1= 8 $ ).