Lösen eines Problems mit der Induktion

Question

Die ursprüngliche Frage ist der folgende

Beweisen Sie, dass $ 2 · \ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^ {i}= 3 ^ n-1 $ für alle n < Span-Klasse="Math-Container"> $ \ geq $ 1

Ich weiß, dass ich mich durch Induktion beweisen muss und den Basisfall erfolgreich erledigt habe, mein IH ist folgendes:

Nehmen Sie an, $ 2 · \ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^ {i}= 3 ^ n-1 $ Hält für alle n < Span-Klasse="Math-Container"> $ \ geq $ 1, um $ 2 · \ sum_ {i= 0} ^ {n} 3 ^ {i}= 3 ^ {n + 1} -1 $

Dann habe ich das getan: $ 2 · \ sum_ {i= 0} ^ {n} 3 ^ {i}= 2 · \ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^ {i} + 3 ^ n $

dann von meiner ih: $ 2 · \ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^ {i} + 3 ^ n= 3 ^ n-1 + 3 ^ n $

Nachdem ich mich bemüht habe, fortzufahren, ich weiß, ich muss einen Weg finden, um es auf $ 3 ^ {n + 1} -1 $ zu schreiben, und ich weiß das ist gleich 3 · 3 ^ n-1 $ aber ich sehe nicht, wie er von der einen zum anderen kommt. Wer kann helfen?

edit: Ich mache a 2 für einen 3, kann jetzt jemand helfen?

Answer 1

Sie können das erste Paar Paranthesis in der Ableitung unten hinzufügen, so dass klar wird, dass der Faktor $ 2 $ auch den zweiten Begriff multipliziert, wie folgt:

$ 2 \ cdot \ sum_ {i= 0} ^ n 3 ^ i= 2 \ cdot \ links (\ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^i + 3 ^ n \ rechts)= 2 \ cdot \ sum_ {i= 1} ^ {n-1} 3 ^ i + 2 \ cdot 3 ^ n= (3 ^ n -1) + 2 \ cdot 3 ^ n= 3 ^ {n + 1} -1. $

Answer 2

$ 2 · \ sum_ {i= 0} ^ {n} 3 ^ {i}= 3 ^ n-1 +2 \ cdot {3 ^ n}= 3 ^ {n + 1} -1 $ .

Answer 3

In Anbetracht dessen, dass die Anweisung falsch ist (in der Tat $ 2 \ cdot \ sum \ limits_ {i= 0} ^ {n-1} 2 ^ i +1=sum \ limits_ {i= 0} ^ {n} 2 ^ i= 2 ^ {n + 1} -1 ^ {n + 1} -1 \ neq 3 ^ n $ ), ich förderung niemanden hier kann es beweisen.

Answer 4

Wie Sie als Induktionsbasis finden können, trifft dies auch für $ n= 2 $ (leicht zu sehen $ 2 (1 + 2) = 6 \ neq 3 ^ 2 - 1= 8 $ ).