Решение проблемы с индукцией

Question

Оригинальный вопрос следующий

Докажете, что $ 2 · \ sum_ {i= 0} ^ {n - 1} 3 ^ {i}= 3 ^ n-1 $ для всех Spaness Class="Математический контейнер"> $ \ geq $ 1

Я знаю, что я должен доказать по индукции и успешно сделал базовый случай, мой ih следующий:

Предположим, что $ 2 · \ sum_ {i= 0} ^ {n - 1} 3 ^ {i}= 3 ^ n - 1 $ Держит для всех Spaness Class="Math-container"> $ \ geq $ 1, чтобы доказать $ 2 · \ sum_ {i= 0} ^ {n} 3 ^ {i}= 3 ^ {n + 1} -1 $

Тогда я сделал это: $ 2 · \ sum_ {i= 0} ^ {n} 3 ^ {i}= 2 · \ sum_ {i= 0} ^ {n - 1} 3 ^ {i} + 3 ^ n $

Тогда по моему IH: $ 2 · \ sum_ {i= 0} ^ {n - 1} 3 ^ {i} + 3 ^ n= 3 ^ n-1 + 3 ^ n $

После этого я изо всех сил пытаюсь продолжить, я знаю, что я должен найти способ переписать его на $ 3 ^ {n + 1} -1 $ и я знаю это равно $ 3 · 3 ^ N-1 $ Но я не вижу, как добраться от одного на другой. Любой, кто может помочь?

Редактировать: я принял 2 для 3, может кто-нибудь помочь сейчас?

Answer 1

Вы можете добавить первую пару парунгеза в выведении ниже, чтобы становиться ясно, что фактор $ 2 $ также умножает второй член, следующим образом: .

$ 2 \ CDOT \ sum_ {i= 0} ^ n 3 ^ i= 2 \ cdot \ left (\ sum_ {i= 0} ^ {n - 1} 3 ^I + 3 ^ n \ верно)= 2 \ cdot \ sum_ {i= 1} ^ {n - 1} 3 ^ i + 2 \ cdot 3 ^ n= (3 ^ n -1) + 2 \ cdot 3 ^ n= 3 ^ {n + 1} -1. $

Answer 2

$ 2 · \ sum_ {i= 0} ^ {n} 3 ^ {i}= 3 ^ n - 1 +2 \ cdot {3 ^ n}= 3 ^ {n + 1} -1 $ .

Answer 3

Учитывая, что утверждение неверно (действительно $ 2 \ CDOT \ Sum \ Limits_ {I= 0} ^ {N-1} 2 ^ i +1=sum \ limits_ {i= 0} ^ {n} 2 ^ i= 2 ^ {n + 1} -1 \ neq 3 ^ n $ ), я сомневаюсь, кто здесь может доказать.

Answer 4

Как вы можете найти в качестве основы индукции, это не верно даже для $ n= 2 $ (легко видеть $ 2 (1 + 2) = 6 \ NEQ 3 ^ 2 - 1= 8 $ ).