résoudre un problème d'induction

Question

La question initiale est la suivante

prouve que 2 $ \ \ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^ ^ {i}= 3 ^ n-1 $ pour tous les n < Span Classe="Math-Conteneur"> $ \ Geq $ 1

Je sais que je dois prouver par induction et avoir effectué avec succès le cas de base, mon IH est le suivant:

suppose 2 $ \ \ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^ ^ {i}= 3 ^ n-1 $ conteste pour tous les n < span class="math-conteneur"> $ \ geq $ 1 pour prouver 2 $ · sum_ {i= 0} ^ {n} 3 ^ {i}= 3 ^ {n + 1} -1 $

Alors je l'ai fait: 2 $ \ \ sum_ {i= 0} ^ {n} 3 ^ {i}= 2 · sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^ {i} + 3 ^ n $

Puis par mon IH: 2 $ · sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^ {i} + 3 ^ n= 3 ^ n-1 + 3 ^ n $

Après cela, je me suis lutte pour continuer, je sais que je dois trouver un moyen de réécrire à 3 ^ {n + 1} -1 $ 3 · 3 ^ n-1 $ mais je ne vois pas comment aller de celui à l'autre. Quiconque peut aider?

Edit: Je me suis trompé A 2 pour un 3, quelqu'un peut-il aider maintenant?

Answer 1

Vous pouvez ajouter la première paire de paranthésis dans la dérivation ci-dessous, de sorte qu'il devient clair que le facteur 2 $ multiplie également le second terme, comme suit:

$ 2 \ cdot \ sum_ {i= 0} ^ n 3 ^ i= 2 \ cdot \ gauche (\ sum_ {i= 0} {n-1} 3 ^I + 3 ^ n \ droite)= 2 \ CDOT \ SUM_ {I= 1} ^ {N-1} 3 ^ I + 2 \ CDOT 3 ^ N= (3 ^ N -1) + 2 \ CDOT 3 ^ N= 3 ^ {n + 1} -1. $

Answer 2

2 $ · sum_ {i= 0} ^ {n} 3 ^ {i}= 3 ^ n-1 +2 \ cdot {3 ^ n}= 3 ^ {n + 1} -1 $ .

Answer 3

Considérant que la déclaration est incorrecte (en effet $ 2 \ cdot \ sum \ limites_ {i= 0} ^ {n +1=sum \ limites_ {i= 0} ^ ^ {n} 2 ^ i= 2 ^ {n + 1} -1 \ neq 3 ^ n $ ), je douffre tout le monde ici peut le prouver.

Answer 4

Comme vous pouvez trouver comme base d'induction, ce n'est pas vrai même pour $ n= 2 $ (facile à voir 2 $ (1 + 2) = 6 \ neq 3 ^ 2 - 1= 8 $ ).