Resolvendo um problema com a indução

Question

A questão original é a seguinte

.

Prove que $ 2 \ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^ {i}= 3 ^ n-1 $ para todos os n < span class="contentor de matemática"> $ \ GEQ $ 1

Eu sei que tenho que provar por indução e ter feito com sucesso o caso base, meu IH é o seguinte:

Assumir $ 2 \ \ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^ {i}= 3 ^ n-1 $ mantém para todos os n < span class="contentor de matemática"> $ \ GEQ $ 1 para provar $ 2 \ sum_ {i= 0} ^ {n} 3 ^ {i}= 3 ^ {N + 1} -1 $

Então eu fiz isso: $ 2 \ \ sum_ {i= 0} ^ {n} 3 ^ {i}= 2 \ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^ {i} + 3 ^ n $

então pelo meu IH: $ 2 \ \ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^ {i} + 3 ^ n= 3 ^ n-1 + 3 ^ n $

Depois disso, eu luto para continuar, eu sei que tenho que encontrar uma maneira de reescrevê-lo para $ 3 ^ {N + 1} -1 $ e eu sei disso é igual a $ 3 · 3 ^ n-1 $ mas não vejo como obter de um para o outro. Qualquer pessoa que possa ajudar?

editar: eu confundir um 2 para um 3, alguém pode ajudar agora?

Answer 1

Você pode adicionar o primeiro par de parantése na derivação abaixo, para que se torne claro que o fator $ 2 $ também multiplica o segundo prazo, da seguinte forma: .

$ 2 \ cdot \ sum_ {i= 0} ^ n 3 ^ i= 2 \ cdot \ left (\ sum_ {i= 0} ^ {n-1} 3 ^i + 3 ^ n \ à direita)= 2 \ cdot \ sum_ {i= 1} ^ {n-1} 3 ^ i + 2 \ cdot 3 ^ n= (3 ^ n -1) + 2 \ cdot 3 ^ n= 3 ^ {N + 1} -1. $

Answer 2

$ 2 \ \ sum_ {i= 0} ^ {n} 3 ^ {i}= 3 ^ n-1 +2 \ cdot {3 ^ n}= 3 ^ {n + 1} -1 $ .

Answer 3

Considerando que a declaração está incorreta (de fato $ 2 \ Cdot \ Sum \ LIMITS_ {i= 0} ^ {n-1} 2 ^ i +1=sum \ limites_ {i= 0} ^ {n} 2 ^ i= 2 ^ {n + 1} -1 \ neq 3 ^ n $ ), eu dout o que alguém aqui pode provar isso.

Answer 4

Como você pode encontrar como a base da indução, não é verdade mesmo para $ n= 2 $ (fácil de ver $ 2 (1 + 2) = 6 \ neq 3 ^ 2 - 1= 8 $ ).