进行信号频谱分析时的傅立叶变换 (FFT) 单位

Question

我的问题与对信号进行频谱分析或将信号放入 FFT 并使用合适的数值包解释结果的物理意义有关，

具体来说：

• 取一个信号，例如时变电压 v(t)
• 将其放入 FFT 中（您将得到一系列复数）
• 现在取模（abs）并对结果求平方，即|fft(v)|^2。

现在 y 轴上有实数了——我可以将这些称为频谱系数吗？

• 使用采样分辨率，您可以遵循食谱并将频谱系数与频率相关联。
• 此时，您将得到一个频谱 g(w)，其中频率位于 x 轴上， 但是 y 轴上的物理单位是什么？

我的理解是，这个频谱显示了电压信号中存在多少各种频率——它们是频谱系数，因为它们是重构原始信号所需的各种频率的正弦和余弦系数。

所以第一个问题是， 这些频谱系数的单位是什么？

这很重要的原因是频谱系数可能很小也可能很大，所以我想使用 dB 刻度来表示它们。

但要做到这一点，我必须做出选择：

• 要么我使用 20log10 dB 转换，对应于现场测量，例如电压。
• 或者我使用 10log10 dB 转换，对应于能量测量，例如功率。

我使用哪种缩放取决于单位是什么。

任何对此的启发将不胜感激！

Answer 1

取一个信号，一个时变电压 v(t)

单位是 V, ，值是真实的。

将其放入 FFT 中——好吧，你会得到一个复数序列

单位仍在 V, ，值很复杂（不是 伏/赫兹 - DC 信号的 FFT 变成 DC 电平上的一个点，而不是缩小到无穷大的狄拉克 Delta 函数）

现在取模数 (abs)

单位仍在 V, ，值是信号分量的实数幅度

并对结果求平方，即|fft(v)|^2

现在单位是 V², ，值是实数 - 信号分量幅度的平方

我应该称这些频谱系数吗？

它更接近功率密度，而不是通常使用的频谱系数。如果您的接收器是一个完美的电阻器，那么它将是功率，但如果您的接收器与频率相关，那么它就是“输入电压 FFT 幅度的平方”。

此时，您有一个频谱 g(w)：x 轴上的频率，以及...y 轴上的物理单位是什么？

单位是 V²

这些单位很重要的另一个原因是频谱系数可能很小也可能很大，所以我想使用 dB 刻度来表示它们。但要做到这一点，我必须做出选择：我是否使用 20log10 dB 转换（对应于现场测量，如电压）？或者我是否使用 10log10 dB 转换（对应于能量测量，如功率）？

您已经对电压值进行了平方，为完美的 1 欧姆电阻提供了等效功率，因此使用 10log10。

日志（x²) 是 2 对数(x), ， 所以 20log10 | fft（v）| = 10log10（| fft（v）|²), ，因此，如果您没有对值进行平方，则可以使用 20log10。

Answer 2

y 轴是复数（与实数相反）。幅度是原始信号的幅度，无论原始样本采用什么单位。该角度是该频率分量的相位。

Answer 3

到目前为止，这是我能想到的：

y 轴似乎可能以[能量/赫兹]为单位！？

这是我的推导方式（欢迎反馈！）：

1. 信号 v(t) 的单位是伏特

2. 所以在进行傅立叶积分后：积分 e^iwt v(t) dt ，我们的单位应该是 [伏*秒] 或 [伏/赫兹] （e^iwt 无单位）

3. 取幅度平方后应给出的单位为 [volts^2 * s^2] 或 [v^2 * s/Hz]

4. 我们知道功率与伏特 ^2 成正比，因此我们可以得到 [功率 * s / Hz]

5. 但功率是能量变化的时间速率，即功率 = 能量/s，因此我们也可以写成 能量 = 功率 * s

6. 这给我们留下了候选结论[能量/赫兹]。（焦耳/赫兹？！）

...这表明了“每赫兹能量含量”的含义，并建议将其用作集成频带并查看能量含量......如果这是真的那就太好了......

继续...假设上述内容是正确的，那么我们正在处理能量测量，因此建议使用 10log10 转换来进入 dB 刻度，而不是 20log10...

...

Answer 4

进入电阻器的功率为 v^2/R 瓦特。信号的功率 x(t) 是将权力抽象为 1 Ohm 电阻器。因此，信号的功率 x(t) 是 x^2 （也称为瞬时功率），无论物理单位如何 x(t).

例如，如果 x(t) 是温度，单位是 x(t) 是度数 C, ，然后是功率单位 x^2 的 x(t) 是 C^2, ，当然不是瓦特。

如果你采用傅里叶变换 x(t) 要得到 X(jw), ，那么单位为 X(jw) 是 C*sec 或者 C/Hz （根据傅立叶变换积分）。如果你使用 (abs(X(jw)))^2, ，那么单位是 C^2*sec^2=C^2*sec/Hz. 。由于功率单位是 C^2, ，能量单位是 C^2*sec, ， 然后 abs(X(jw)))^2 给出能量谱密度，比如说 E/Hz. 。这与帕塞瓦尔定理一致，其中能量 x(t) 是（谁）给的 (1/2*pi) 乘以积分 abs(X(jw)))^2 关于 w, ， IE。， (1/2*pi)*int(abs(X(jw)))^2*dw) > (1/2*pi)*(C^2*sec^2)*2*pi*Hz > (1/2*pi)*(C^2*sec/Hz)*2*pi*Hz > E.

转换为 dB（对数刻度）刻度不会改变单位。

如果对样本进行 FFT x(t), ，写为 x(n), ， 要得到 X(k), ，那么结果 X(k) 是周期函数的傅立叶级数系数​​的估计，其中一个周期超过 T0 秒是一段 x(t) 已采样。如果单位为 x(t) 是度数 C, ，那么单位为 X(k) 也是度数 C. 。单位为 abs(X(k))^2 是 C^2, ，它们是功率单位。因此，一个情节 abs(X(k))^2 与频率的关系显示了功率谱（不是功率谱密度） x(n), ，这是一组频率分量的功率估计 x(t) 在频率 k/T0 Hz.

Answer 5

好吧，我知道答案迟到了。但我只是有理由在不同的背景下做这样的事情。我的原始数据是针对存储单元的事务的延迟值 - 我将其重新采样为 1 毫秒的时间间隔。因此，原始数据y是“延迟，微秒为单位”。我有2^18 = 262144原始数据点，在1毫秒的时间步长上。

完成 FFT 后，我得到了第 0 个分量 (DC)，满足以下条件：

FFT[0] = 262144*（所有输入数据的平均值）。

所以在我看来 FFT[0] 是 N*（输入数据的平均值）。这是有道理的——每个数据点都拥有 DC 平均值作为其本身的一部分，所以你可以将它们全部加起来。

如果你看看 FFT 的定义，这也是有道理的。所有其他组件也将涉及正弦和余弦项，但实际上 FFT 只是一个求和。平均值是唯一一个恰好平等地出现在所有点中的平均值，因为 cos(0) = 1。