Was ist los mit diesem "Proof", dass $ \ mathbb {r} $ nativer ist?

Question

der falsche Beweis:

• Wir wissen, dass $ \ mathbb {R} $ unzählbar ist, somit können wir nicht darüber aufzählen.
• Aber was wir wissen, ist, dass $ \ mathbb {q} $ , der Satz von Rationals, abzählbar ist, und sogar staufend.
• Wir wissen auch, dass wir $ \ Mathbb {R} $ durch das, was als Dedekind-Schnitte bezeichnet werden.
• Wir wählen, damit die Partition selbst eine neue Nummer bedeuten kann, um mathematische Operationen darin zu definieren, um mit den übrigen Zahlen kompatibel zu sein (hauptsächlich $ \ mathbb {q } $ und unsere neue nummer $ x $ )

sideote: Ich denke, das ist bisher Standard und enthält nichts Falsches. Das eigentliche Argument beginnt unter dieser Zeile.

• Lassen Sie uns das Set mit $ x $ als $ s_1:=mathbb {q} \ Cup \ {x \} $ . Für den Komfort ist das Superscript von $ s_1 $ wie viele neue solche Zahlen, die wir durch die Schnitte hinzugefügt haben.

• Da $ \ mathbb {q} $ zählbar ist, können wir über jeden einzelnen rationalen $ q aufzählen \ in \ mathbb {q} $ , um einen $ r \ in \ mathbb {r} $ herzustellen. Machen Sie diesen Prozess $ N $ mal und enden mit $ s_n=mathbb {q} \ cup {x_1} \ \ \ Cup {x_2} \ cup \ dots \ cup {x_n} $ .

• aber $ s_n $ ist auch aufgeliefert, da er einen endlichen mehr Elemente als $ \ mathbb {q aufweist } $ .

• somit - nach der Aufzählung der Gesamtheit von $ \ mathbb {q} $ - beginnen Sie mit der Aufzählung der gesamten $ s_ {| \ mathbb {n} |} \ setminus \ mathbb {q} $

• Jetzt enden wir mit noch neueren Nummern, um in unserem Set einzugeben, das wir jetzt anrufen, $ s_ {n= | \ mathbb {n} | } $ wo $ n $ die Aufzählung über $ \ mathbb {q} $ und $ K $ stellt die Aufzählung über $ S_ {| \ mathbb {n} |} \ setminus \ mathbb {q} $ . Machen Sie dieses Ad-Infinitum und Sie beschreiben letztendlich $ \ Mathbb {R} $ .

Ich weiß, dass ich irgendwo schief gegangen bin, weiß ich einfach nicht wo.

Answer 1

"Tun Sie dieses Ad-Infinitum und beschreiben Sie schließlich $ \ Mathbb {R} $ ."

Das "AD Infinitum" dauert unzulässig viele Schritte, um abzuschließen.