Quel est le problème avec cette "preuve" que $ \ mathbb {r} $ est énumérable?

Question

la fausse preuve:

• Nous savons que $ \ mathbb {r} $ est indénitable, par conséquent, nous ne pouvons donc pas énumérer dessus.
• Mais ce que nous savons, c'est que $ \ mathbb {q} $ , l'ensemble des rationnels, est dénombrable et même dénuerable.
• Nous savons aussi que nous pouvons construire $ \ mathbb {r} $ à travers ce qu'on appelle DEDEKIND CUTS.
• Nous choisissons de laisser la partition elle-même désignant un nouveau numéro et de définir des opérations mathématiques sur celui-ci de manière à être compatible avec le reste des chiffres (principalement $ \ mathbb {q } $ et notre nouveau numéro $ x $ )

sidenote: Je pense que jusqu'à présent c'est standard et ne contient rien de faux. L'argument réel commence ci-dessous cette ligne.

• indiquons l'ensemble contenant $ x $ comme $ s_1:=mathbb {q} \ Coupe \ {x \} $ . Pour la commodité, le SuperScript de $ S_1 $ est le nombre de nouveaux numéros de ce type que nous avons ajouté à travers les coupes.

• depuis $ \ mathbb {q} $ est comptable, nous pouvons énumérer sur chaque logement rationnel q \ in \ mathbb {q} $ pour produire une $ r \ in \ mathbb {r} $ . Faites ce processus $ n $ fois et vous vous retrouvez avec $ s_n=mathbb {q} \ tasse {x_1} \ tasse {x_2} \ tasse \ dots \ tasse {x_n} $ .

• mais $ s_n $ est également énumérable car il a un plus d'éléments finis que $ \ mathbb {q } $ .

• Par conséquent, après avoir énuméré sur l'intégralité de $ \ mathbb {q} $ - commencer à énumérer sur l'intégralité de $ s_ {| \ mathbb {n} |} \ seminus \ mathbb {q} $

• Nous finirons maintenant avec des chiffres encore plus récents à mettre dans notre ensemble, que nous allons maintenant appeler $ s_ {n= | \ mathbb {n} |, k } $ où $ n $ représente l'énumération sur $ \ mathbb {q} $ et $ k $ représente l'énumération sur $ s_ {| \ mathbb {n} |} \ setminus \ mathbb {q} $ $ . Faites cette annonce infinitum et vous allez éventuellement décrire $ \ mathbb {r} $ .

  .

Je sais que je me suis trompé quelque part, je ne sais tout simplement pas où.

Answer 1

"Faites cette annonce infinitum et vous allez éventuellement décrire $ \ mathbb {r} $

."

"

Le "public infinitum" prend inconnue de nombreuses étapes à suivre.