¿Qué hay de malo en esta "prueba" que $ \ mathbb {r} $ es enumerable?

Question

la prueba falsa:

• Sabemos que $ \ mathbb {r} $ es incontable, por lo que no podemos enumerar sobre ella.
• Pero lo que sí sabemos es que $ \ mathbb {q} $ , el conjunto de racionales, es contable e incluso denumerable.
• También sabemos que podemos construir $ \ mathbb {r} $ a través de lo que se llaman los recortes dedekind.
• Elegimos permitir que la partición denote un nuevo número y salimos para definir las operaciones matemáticas para ser compatibles con el resto de los números (principalmente $ \ mathbb {q } $ y nuestro nuevo número $ x $ )

sidenote: Creo que hasta ahora es estándar, y no contiene nada falso. El argumento real comienza debajo de esta línea.

• Denotemos el conjunto que contiene $ x $ como $ s_1:=mathbb {q} \ \ Cup \ {x \ \} $ . Para mayor comodidad, el superíndice de $ s_1 $ es cuántos números nuevos hemos agregado a través de los recortes.

• desde $ \ mathbb {q} $ es contable, podemos enumerar sobre cada uno de cada uno de las racionales $ q \ In \ MathBB {Q} $ para producir un $ r \ in \ mathbb {r} $ . Haz este proceso $ n $ veces y terminas con $ s_n=mathbb {q} \ taza {x_1} \ CUP {x_2} \ CUP \ DOTS \ CUP {x_n} $ .

• pero $ s_n $ también es enumerable ya que tiene más elementos finitos que $ \ mathbb {q } $ .

• Por lo tanto, después de enumerar en la totalidad de $ \ mathbb {q} $ - comienza a enumerar sobre la totalidad de $ s_ {| \ mathbb {n} |} \ setminus \ mathbb {q} $

• Ahora terminaremos con un número aún más nuevo para poner en nuestro set, que ahora llamaremos $ s_ {n= | \ mathbb {n} |, k } $ donde $ n $ representa la enumeración sobre $ \ mathbb {q} $ y $ k $ representa la enumeración sobre $ s_ {| \ mathbb {n} |} \ setminus \ mathbb {q} $ . Haga este anuncio Infinitum y eventualmente describirá $ \ mathbb {r} $ .

Sé que salí mal en alguna parte, simplemente no sé dónde.

Answer 1

"Haga este anuncio Infinitum y eventualmente describirá $ \ mathbb {r} $ ."

El "INFINITO AD" toma incontablemente muchos pasos para completar.