Cosa c'è di sbagliato in questa "prova" che $ \ mathbb {r} $ è enumerabile?

Question

La prova falsa:

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• Sappiamo che $ \ mathbb {r} $ non è numerabile, quindi non possiamo enumerare su di esso.
• Ma ciò che sappiamo è che $ \ mathbb {q} $ , il set di razionali, è numerabile e persino denumerabile.
• Sappiamo anche che possiamo costruire $ \ mathbb {r} $ attraverso quello che sono chiamati dedekind tagli.
• scegliamo di lasciare che la partizione stessa denota un nuovo numero e va avanti per definire le operazioni matematiche su di esso da essere compatibili con il resto dei numeri (principalmente $ \ mathbb {q } $ e il nostro nuovo numero $ x $ )

sidenote: penso finora questo è standard e non contiene nulla di falso. L'argomento effettivo inizia sotto questa linea.

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• Denteriamo il set contenente $ x $ come $ s_1:=mathbbs {q} \ mathbb CUP \ {X \} $ . Per comodità, il superscript di $ s_1 $ è il numero di nuovi numeri che abbiamo aggiunto attraverso i tagli.

• Dal momento che $ \ mathbb {q} $ è numerabile, possiamo enumerare su ogni singola classe razionale $ Q \ in \ mathbb {q} $ per produrre una classe $ r \ in \ mathbb {r} $ . Fare questo processo $ N $ volte e si finisce con $ s_n=mathbbs {q} \ tazza {x_1} \ tazza {x_2} \ cup \ dots \ cup {x_n} $ .

• ma $ s_n $ è anche enumerabile poiché ha un element finito rispetto a $ \ mathbb {q } $ .

• quindi - dopo l'enumerazione sopra l'insieme di $ \ mathbb {q} $ - Avviare enumerare sopra l'insieme di $ s_ {| \ mathbb {n} |} \ setminus \ mathbb {q} $

• Ora finiremo con numeri ancora più nuovi per inserire il nostro set, che ora chiameremo $ s_ {n= | \ mathbb {n} |, k } $ dove $ N $ rappresenta l'enumerazione su $ \ mathbb {q} $ e $ K $ Rappresenta l'enumerazione su $ s_ {| \ mathbb {n} |} \ setminus \ mathbb {q} $ . Fai questo annuncio infinitum e alla fine descriverete $ \ mathbb {r} $ .

So che sono andato storto da qualche parte, non so dove.

Answer 1

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"Fai questo annuncio infinitum e alla fine descriverai $ \ mathbb {r} $ ."

Il "ad infinitum" richiede innumerevoli passaggi per completare.