O que há de errado com essa "prova" que $ \ mathbb {r} $ é enumerável?

Question

a prova falsa:

• sabemos que $ \ mathbb {r} $ é incontável, portanto, não podemos enumerar sobre ele.
• Mas o que sabemos é que $ \ mathbb {} $ , o conjunto de racionais, é contável e até mesmo denumerável.
• Nós também sabemos que podemos construir $ \ mathbb {r} $ através do que são chamados de cortes de Dedekind.
• optamos por deixar a própria partição denotar um novo número e sair para definir operações matemáticas sobre como ser compatível com o restante dos números (principalmente $ \ mathbb {q } $ e nosso novo número $ x $ )

Sidenote: Eu acho que até agora isso é padrão e não contém nada falso. O argumento real começa abaixo desta linha.

• Deixe-nos denotar o conjunto contendo $ x $ como $ s_1:=mathbb {q} \ copo \ {x \} $ . Por conveniência, o sobrescrito da $ s_1 $ é quantos novos números tais adicionamos através dos cortes.

• desde $ \ mathbb {q} $ é contável, podemos enumerar sobre cada racional $ Q \ in \ mathbb {q} $ para produzir uma $ r \ in \ mathbb {r} $ . Faça este processo $ n $ vezes e você acaba com $ s_n=mathbb {q} \ cope {x_1} \ copo {x_2} \ cope \ dots \ cope {x_n} $ .

• mas $ s_n $ também é enumerável, pois tem um finito mais elementos do que $ \ mathbb {q } $ .

• portanto - depois de enumerar sobre a totalidade da $ \ mathbb {} $ - começar enumerando sobre a totalidade da $ s_ {| \ mathbb {n} |} \ setminus \ mathbb {q} $

• Agora vamos acabar com números ainda mais novos para colocar em nosso conjunto, que agora vamos chamar $ s_ {n= | \ mathbb {n} |, k } $ onde $ n $ representa a enumeração sobre $ \ mathbb {q} $ e $ k $ representa a enumeração sobre $ s_ {| \ mathbb {n} |} \ setminus \ mathbb {} $ . Faça este AD Infinitum e você eventualmente descreverá $ \ mathbb {r} $ .

Eu sei que dei errado em algum lugar, eu simplesmente não sei onde.

Answer 1

.

"Faça este anúncio Infinitum e você eventualmente descreverá $ \ mathbb {r} $ ."

O "Ad infinitum" leva incontrabsável muitas etapas para serem concluídas.